DID em Forma de Regressão

• Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)

• Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

• 3 ingredientes:

1. Variável dummy de tratamento: \(TREAT_s\) onde o subscrito \(s\) nos lembra que o tratamento está no nível do estado

2. Variável dummy dos períodos de pós-tratamento: \(POST_t\) onde o subscrito \(t\) nos lembra que esta variável varia ao longo do tempo

3. Termo de interação entre os dois: \(TREAT_s \times POST_t\) 👉 o coeficiente neste termo é o efeito causal DID!

DID em Forma de Regressão

Variável dummy de tratamento \[ TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases} \]

Variável dummy pós-tratamento \[ POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } t < \text{1º abril, 1992} \\\ 1 \quad \text{se } t \geq \text{1º abril, 1992} \end{array}\end{cases} \]

Quais observações correspondem a \(TREAT_s \times POST_t = 1\)?

• Vamos juntar todos esses ingredientes: \[EMP_{st} = \alpha + \beta TREAT_s + \gamma POST_t + \delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}\]

Compreendendo a Regressão

\[EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}\]

Temos o seguinte:

• \(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}\)

• \(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}\)

• \(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}\)

• \(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\tag{4}\)

• \[\left[(4)-(3)\right]-\left[(2)-(1)\right] = \color{#d90502}\delta\]

\(\color{#d90502}\delta\): efeito causal do aumento do salário mínimo sobre o emprego

Compreendendo a Regressão

\[EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}\]

Em formato de tabela:

• Esta tabela generaliza para outras configurações substituindo Pensilvânia por Controle e Nova Jersey por Tratamento

Hipótese Crucial DID

Tendências Paralelas

Hipótese de tendências comuns ou paralelas: sem qualquer aumento do salário mínimo, a tendência de emprego de fast-food na Pensilvânia teria sido o que deveríamos esperar ver em Nova Jersey.

• Esta hipótese afirma que a tendência de emprego de fast-food da Pensilvânia entre fevereiro e novembro de 1992 fornece uma tendência confiável de emprego contrafactual que a indústria de fast-food de Nova Jersey teria experimentado caso não tivesse aumentado seu salário mínimo.

• Impossível validar ou invalidar completamente esta hipótese (não-testável).

• Verificação intuitiva: comparar tendências antes da mudança de política e boa argumentação da comparabilidade dos grupos

Tendências Paralelas: Graficamente

Verificando a hipótese de tendências paralelas

Verificando a hipótese de tendências paralelas

Hipótese de tendências paralelas \(\rightarrow\) Verificada ✅

Hipótese de tendências paralelas \(\rightarrow\) Verificada ✅

Hipótese de tendências paralelas \(\rightarrow\) Não verificada ❌

Hipótese de tendências paralelas \(\rightarrow\) Não verificada ❌

Hipótese de Tendências Paralelas: Card and Krueger (2000)

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

• \(Y_{ist}^1\): emprego no restaurante \(i\) no estado \(s\) no momento \(t\) quando SM estadual alto (resultado potencial tratado);

• \(Y_{ist}^0\): emprego no restaurante \(i\) no estado \(s\) no momento \(t\) quando SM baixo no estado (resultado potencial não tratado);

• O principal pressuposto subjacente à estimativa de DID é que, no estado sem tratamento, o resultado do restaurante \(i\) no estado \(s\) no momento \(t\) é dado por: \[\mathbb{E}[Y_{ist}^0|s,t] = \gamma_s + \lambda_t\]

• Duas suposições implícitas:

1. Viés de seleção: refere-se a características de estado fixo \((\gamma)\)

2. Tendência temporal: mesma tendência temporal para grupos tratamento e controle \((\lambda)\)

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Resultados no grupo de comparação (controle): \[\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}\]

\[\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}\]

• ➡️ o grupo de controle permite estimar a tendência temporal.

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Seja \(\delta\) o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo:

\[\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta\]

• Efeito causal médio do tratamento nos tratados (ATT)

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Portanto temos que:

\[ \begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}] = \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align} \]

\[ \begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{NJ},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{NJ},t = \text{Fev}] = \color{#d90502}\delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align} \]

\[ \begin{align} DID &= \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}] \\ & \qquad \qquad - \Big(\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]\Big) \\ &= \color{#d90502}\delta + \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb} - (\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}) \\ &= \color{#d90502}\delta \end{align} \]

Testando Tendências Paralelas

• Não há maneira de testar tendências pararelas diretamente: \[ \begin{align*} \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] &- \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]\\ &\LARGE=\\ \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Nov}] &- \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Fev}] \end{align*} \]

• Veja que \(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}]\) é um valor contrafactual.

• Economistas tipicamente utilizam testes de placebo (também conhecidos como falsificação)

Placebos Pré-Tratamento

• O teste placebo mais utilizado é obter observações de um período anterior ao próprio período pré-tratamento e utilizá-las no design como se fossem observações posteriores.

• Se havia tendências paralelas entre os períodos pré-tratamento \((t_{-1}, t_0)\), então não deve aparecer efeito na regressão

• Suponha que temos observações de Jan/92: \[ \begin{align} DID &= \underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]}_{\text{tendência NJ}} \\ & - \Big(\underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]}_{\text{tendência PA}}\Big) \\ &= 0\quad\text{caso sejam tendências paralelas} \end{align} \]

Estudos de Eventos

• Uma generalização para o teste de placebo é analisar os coeficientes de leads de um estudo de eventos.

• Ideia básica é: efeito do tratamento antes de sua aplicação deve ser zero entre grupos com tendências paralelas. \[Y_{ist}=\gamma_s+\lambda_t+\sum_{\tau=-q}^{-1}\gamma_\tau D_{st}+\sum_{\tau=0}^p \delta_\tau D_{st}+\varepsilon_{ist}\]

• Coeficientes \(\gamma_\tau=0\)

Estudos de Eventos

📚 Leitura Recomendada

• GERTLER, Paul J. et al. Avaliação de Impacto na Prática, 2018. - 2. ed. Banco Mundial. Capítulo 7 Diferenças em diferenças

• ANGRIST, Joshua D.; PISCHKE, Jörn-Steffen. Mostly harmless econometrics: An empiricist’s companion. Princeton university press, 2009. Section 5.2 Differences-in-differences

• CUNNINGHAM, Scott. Causal Inference: The Mixtape, New Haven: Yale University Press, 2021. URL: https://mixtape.scunning.com/. Chapter 9 Difference-in-differences

ATÉ A PRÓXIMA AULA!